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基于《几何画板》的数学实验课探究

[日期:2013-05-24 20:26] www.7163.com:这是默认www.7163.com 编辑:这是默认编辑

 基于《几何画板》的数学实验课探究
[摘 要]借助于计算机开展数学实验是培养学生创新能力,提高探索能力的一种有效途径。用几何画板App进行数学实验,为学生提供了一个十分理想的“做数学”的环境,它提高了学生在教学过程中的参与程度,使学生的主观能动性在实验中能得到相当充分的发挥。本文对《几何画板》的数学实验教学功能进行了先容,提出了运用《几何画板》进行数学实验的几种基本模式和要遵循的原则,并对影响数学实验课效果的因素进行了分析。
关键词:几何画板  数学实验  教学模式

一、问题的提出
随着经济和科学技术的进步,尤其是计算机技术的飞速发展,数学对于当代科学乃至整个社会的影响和推动作用日益显著。然而传统数学课程对此反映不甚明显:多年以来其教学内容、方法和手段变化甚微,不能体现数学在科技和现实生活中所起的重要作用,也未能充分结合先进的计算机技术改进教学过程。正因为如此,《数学课程标准》提出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”时间证明,只有通过动手实践、自主探索得来的常识才会更深刻,掌握才会更牢固。因此,教学中必须加强学生的自主探究的能力。目前,网络环境下的数学实验教学已成为探究性学习进入课堂教学的有效切入点,也是未来数学教学模式发展的方向之一。在一些高等学校,甚至已建成虚拟数学实验室,并开展数学实验课程教学。
数学实验是指根据研究目标,创设或改变某种数学情景,在某种条件下,通过思考和操作活动,研究数学现象的本质和发现数学规律的过程。这是一种思维实验和操作实验相结合的实验。而数学实验教学指恰当地运用数学实验,创设问题情境,引导学生独立操作实践、自主探究、合作交流而发现问题、提出猜想、验证猜想和概括猜想并创造性地解决问题的教学活动。 计算机技术和网络技术为“数学实验”教学提供了有效的手段。这种数学实验课的设立,改变了数学课程那种仅仅依赖“一支笔,一张纸”,由教师单向传输常识的模式。它提高了学生在教学过程中的参与程度,学生的主观能动性在实验中能得到相当充分的发挥。同时,通过数学模型的计算实验,为学生探索数知识题的规律提供了方便可行的新途径,使得通过计算机做数学实验成为激发学生数学灵感和数学发现的源泉。
二、《几何画板》的数学实验教学功能
几何画板是一个小巧但功能强大、使用简单的数学实验工具,有简明朴素、短小精悍的特点。用几何画板做数学实验花时少、收效好,在对各种图形或数量进行变换的操作中,可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系,并能展示其中某些恒定不变的规律。在动态的演示中,引导学生创造性地探索数学规律,更好地树立起形和数的辩证关系,建立起动态观察问题、分析问题和解决问题的思想方法。学生可以在这个“实验环境”中“研究数学”,而不再是单纯地以结论的形式学习数学,从“听数学”转变为“做数学”,通过探索不断得到新经验,从而顺利重组自己的数学认知结构。
1、图形运动变化直观化,揭示数学本质规律
数知识题的本质往往非常抽象,如何在教学过程中将抽象的概念形象化、具体化,使得学生的思维从具体形象思维向抽象思维顺利过渡,曾是使教师费尽心思的事情,而《几何画板》堪称这方面的能手。
探索动点的运动规律是几何教学的一个重点, 传统的“粉笔+黑板”的教学手段, 由于难以进行“动态处理”,“动点”只能用黑板上的一个静态的“定点”来演示,导致学生难以形成良好的运动观,阻碍了学生思维发展。利用《几何画板》的拖动功能很好地实现了动点的运动过程,使学生从观察动点的变化过程中发现问题、探索问题、解决问题。在拖动过程中,还可以利用追踪点的功能,让点所经过的路线留下不同颜色的踪迹,让抽象的过程形象化,使学生理解图形运动变化过程中的数量关系。通过图形的动态演示,还能让学生看到一些数量或图形在变化中的特点。同时,拖动的过程也是学生进行归纳猜想的过程,让他们在问题-猜想-验证-新问题-新猜想-新验证的活动中,促进常识与思维都向纵深发展。而这个动态变化过程在传统纸、笔、黑板、粉笔的教学环境下则是难以实现的。
2、图形运动度量相结合,展示数学思维过程
数形结合是重要的数学思想,如何让学生在这方面有真切的体会呢?《几何画板》就能做到这点。其所具有的测量与计算功能,为变化过程中的数形结合提供了形象的直观背景。 通过快速精确计算、数据收集和处理,促进学生发现问题、提出猜想、归纳数学结论。典型的例子如正弦定理的验证过程。在探究过程中,计算机为大家“直观感知”几何、“操作确认”几何提供了有效的途径。通过测量,学生可以自己发现数学真理,这对学生认识和掌握数学科学研究方法、深入理解数学真理十分有益。
3、多种表示法相联系,深化数学概念的理解
《几何画板》提供了一个动态、形象、逼真的文字、图形、图像、数学符号等语言交互的思维载体,借助它能够让学生实现多重数学语言的转化,帮助学生建立多重常识表象,为学生拓展常识网络,优化认知结构奠定了条件。
 《几何画板》中的“多元联系表示”可以组合不同表示法中蕴含的信息,帮助学生在把握数学对象不同方面特征的基础上,建立数学对象之间的联系,并认识其本质特征。它的基本思想就是使用多种方法表示同一数学概念,不同的表示法侧重于不同方法,引导学生有意义地把这些信息组合起来,在不同方面建立起对概念的认识,从而全面、深刻地理解数学概念。例如直线的倾斜角、直线的斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的,因此应该努力揭示它们之间的内在联系。借助几何画板所提供的“多元联系表示”的环境,有助于加深对这些概念的理解,而传统的教学工具就很难做到这一点。图1中呈现的有:直线l的倾斜角 ,它的大小以及范围;斜率k的大小以及所对应的有向线段HM;函数 的图象;倾斜角的大小与斜率k对应关系的表格。借助这个系统,可以帮助学生认清它们之间的关系,井学会借助这样的系统来解决问题。 
由此可知,几何画板能以动态组合的方式灵活地向学生提供图形、表格、数字、文字等概念的不同表示方法,把隐藏的数学关系显性化,提供了探索数学规律,发现数学本质的情境。
4、渗透多种数学思想,培养数学思维能力
《几何画板》本身蕴含着丰富的数学思想。 它不仅是数学教师的得力助手,也是学生自主学习的认知平台,是师生数学思维的虚拟实验室。因此,大家在运用《几何画板》进行辅助教学和教导学生用《几何画板》制作数学课件的实践中要渗透数学思想方法。
(1)函数、映射、对应思想:这是《几何画板》绘图和求解的最重要的思想方法。比如定义某种对应法则就可以把圆映射成椭圆,定义某种对应关系就可以间接控制图像的运动动画等。因此椭圆的画法有很多种。而任何轨迹问题最终都归结为主、从动点(对象)的运动生成,绘制图形图像时必须找出这种对应关系,否则做不出轨迹。而用《几何画板》探究点的轨迹,促使制编辑必须寻找轨迹形成的原因,这正是轨迹教学的重要内容。
(2)数形结合方法:这是《几何画板》最基本常见的思想方法。“数缺形时少直觉,形缺数时难入微”(华罗庚语)。从根本上来说,《几何画板》的许多问题都是通过“代数问题几何化”或者“几何问题代数化”来加以解决的。代数问题几何化使得问题形象直观,通过图形、图像、文字、符号等多种数学表示语言的相互转化训练能够为学生提供支撑日后数学形式化和逻辑推理的数学现实、经验情境和概念表象,而几何问题代数化则让一般的几何图形、图像问题具有数学上的逻辑意义和抽象形式,使得人们对于问题的理解更加深入。它们相辅相成,互相支撑。
由于《几何画板》提供了具体形象的数学思维材料和不同的变式,为数学想象和抽象积累了生动素材,所以《几何画板》的介入不会降低学生的想象力,相反,只要介入适宜,还会促进抽象思维的发展。
实践证明,《几何画板》的运用为探索型教学提供了平台。恰当地使用《 几何画板》,不仅使得静态图形运动变化直观化,展示思维过程化,抽象思维视觉化,而且由于计算机作图精确度高,还有利于学生对数知识题的研究,提高了数学学习效率,提升了数学学习的效果。 
三、运用《几何画板》的数学实验课基本模式
在数学实验教学过程中,教学时间安排和教学内容不同,其相应的教学方法也不同。
1、根据教学时间安排的不同,数学实验教学可分为:
(1)主题探究型单课时式的数学实验。
考虑到单课时教学时间极其有限,教学中要依据主题建立一个与之相关的数知识题情境,根据学生的最近发展区,紧扣教学主题,提出适当深度与广度的问题。该数学实验课上,更多的是教师的演示和引导,学生主要是观察实验、体会变化、发现规律。在这种实验模式中,问题的探索需要教师明确的引导,并在情景中启发学生,使之形成常识与思维的建构性发展。
(2)协作探索型单元式的数学实验。
将学科相同类型或结构相似部分整合(大、小专题或单课时无法完成的主题式内容)。学生在教师实验方案的引导下或按自行设计的实验方案以一个较长的周期进行探究活动,学生拥有更多的学习时间、学习空间、学习方式和学习内容的选择权利,能激发学生探究的兴趣。这种模式侧重于在教师引导下自我的探究,学生活动为主体,由被动接受常识转变为主动探索、发现、整理和内化所学常识。
2、根据教学内容的不同,数学实验教学可分为: 
(1)构建性实验:主要在建构主义的学习理论的引导下,借助计算机的强大动画功能,尽可能真实地创造一种实验环境,使学生通过实验,以自身已有的常识和经验为基础,主动地建构数学概念。在中学数学教学内容中,动态的函数问题、对参数范围的考察问题、轨迹问题等都可以采取这种模式进行教学。如在引入椭圆定义前,让学生动手操作到两定点F1,F2的距离之和为定值(大于 )的动点轨迹的实验,从而构建椭圆的定义。
(2)验证性实验:一是通过实验使学生得出数学概念或结论,并用所学的常识去验证所得的结论;二是通过实验,进一步验证所学常识的原理和问题的结论的正确性。如在解析几何中,求曲线的轨迹方程时,当根据数学常识求出曲线的方程后,可让学生再通过实验,验证所求动点轨迹。
(3)探究性实验:是通过实验开展研究性学习,用以揭示某一数知识题的产生、发展和变化的过程。《几何画板》不仅是多媒体的演示工具,也是一种帮助学生探索和理解的工具。它丰富和扩展了数学活动的内容和形式。在教师的引导下,经过一定的培训,可以使学生亲自参与问题的探索,通过实验进行测量和计算,提出假说予以证明或否定。无论是从数学模型的建立到演示,还是从性能的预测到规律的探求,都可用它作为理想的认知工具,例如“抛物线”中点弦性质的探索实验就可用《几何画板》进行。因此,探究性的数学实验应当成为中学数学的主流实验。
四、运用《几何画板》进行数学实验课的基本原则
1、因材施教原则
(1)使用《几何画板》开展数学实验教学要遵循学生思维发展的规律。
一般认为,学生思维发展是:初一:形象抽象思维;初二、三:经验型的抽象思维;高一、二:由经验型抽象逻辑思维向理论型抽象逻辑思维转化。因此,在中学低年级大家用《几何画板》绘制图表、图像、图形、动画等来创设直观情境辅助学生思维,以帮助数学思维的过渡发展。
(2)使用《几何画板》开展数学实验教学对以下教学内容比较合适:
①从常量到变量的过渡,如函数等;②从静态到动态的变迁,如:点的轨迹、参数方程、极坐标等;③从平面图形向空间图形的转化,如:数形结合、线性规划等、锥、台等;④变式的合成等; ⑤研究性和开放型问题的探索等,如:多边形的内角和、圆幂定理等等。 
2、主体参与原则
数学实验的特性之一便是主体的实践性。就使用《几何画板》开展数学实验教学而言,这一方面不仅要学生自己亲自参与教学。即通过制作相对简单的《几何画板》课件去领悟数学思想方法和加深对数学概念的理解和运用,而且要善于动手、动脑及相互交流去验证数学猜想,探索发现数学规律;另一方面学生应该以积极的态度参与教师创设的学习情境,自主建构数学常识与解题能力,最大限度地投身数学研究中去。
3、适度性原则
(1)实验课与常规教学相平衡
数学实验作为辅助数学教学的一种手段,在数学教学中促进了学生的学习,发展了学生的能力,培养了学生的创造性,但是中学数学教学主要是传递系统的学科常识,培养相应的数学能力。数学实验教学只能作为教学的辅助形式和手段,代替不了传统的数学教学形式,因此数学实验在教学设计中的分量要适度、适宜,否则对教学进度和计划有较大影响。
(2)直观性与抽象性相平衡
数学实验可以化“抽象”为“形象”,从而可以帮助学生对“问题”进行多角度表征,有效促进学生的数学理解,但在使用《几何画板》构建数学实验平台进行动态探索发现的同时,千万不要忽视学生的纸笔运算能力的培养。过分强调形象思维会导致学生对图形、图象的依赖心理,容易形成思维的惰性和单线性。因此,数学实验活动中应在直观和抽象间建立一种适度的平衡,只有这样才能使学生的直觉、形象思维上升到理性思维的层次。    
五、影响基于《几何画板》数学实验课效果的因素
1、教师因素
(1)教学观念
教师的教育教学观念直接影响数学实验教学的开展。目前,绝大多数数学教师都认为做“数学实验”是非常必要的,但在教学中做的却很少,甚至不做。客观原因就是怕影响教学进度,怕影响考试成绩。因为,“数学实验”是一种过程教学,虽然能很好地培养学生的探索精神和创新能力,但是在短期内成绩提高不大。追求眼前短期利益的一些老师就不会采用数学实验的教学形式。
事实上,适当地开展一些数学实验,对教学进度的影响不会很大,而且,适当的实验教学还能提高教学的深度。数学实验是数学体系、内容和方法改革的一项尝试,有利于培养学生的主动性、创造性和协作精神,有利于促进学生整体素质的提高。数学实验教学模式不是要取代其他教学模式,而是对传统教学模式的有益补充。因此,应加强教师培训,以科学的教育教学理论引导教学实践,切实开展好数学实验教学。
(2)本身的专业素质
在中学使用《几何画板》开展数学实验,教师也面临来自专业素质方面的挑战:一方面对大多数中学教师来说,对计算机常识相对生疏,而利用计算机开展数学实验需要较多计算机常识。因此,教师必须要学习几何画板App制作课件的技巧,如迭代、参数、颜色等功能。只有这样,才能充分开发几何画板的各项功能,使其为教师创造性的发挥提供服务。另一方面,开展数学实验,需要教师具有更强的数学常识和科研能力,教师要充分挖掘教材,了解教材中的哪些内容适合用几何画板展现;用几何画板怎样才能更好地呈现教材的内容;怎样用几何画板将教材中的内容转化成生动活泼的有助于学生自主探索、发现的“再创造”的情境,这都对教师素质提出了更高的要求。
(3)实验课中教师的作用
由于基于《几何画板》的数学实验教学具有开放性、松散性、不确定性和难控制性,因此更要注重教师在教学中的主导地位。一是要重视教师的引导作用。自主不等于“无助”,教师要善于创设实验情境,引导学生发现问题、提出问题、探究问题,从而达到更高层次的学习。二是要重视教师的评判作用。教师对学生的探究结果必须作一定的评价,肯定正确的结果,让学生明白探究的真谛,从而避免“放羊式”教学。三是要重视教师的组织作用。如果淡化教师的组织作用,很可能一堂看似热热闹闹的课,实际上学生一无所获。
同时,也要注意几何画板情境下的师生的情感交流、学生之间的交流,计算机的引入决不能削弱师生之间的情感交流,不能用“人机对话”代替“人际对话”,师生间的交流最有利于学生常识和能力的形成。
2、学生因素
(1)学生对数学实验的接受能力
由于数学实验是个“年轻”的课题,以前的学习中很少涉及此类问题,现在要求让学生自己进行数学实验,学生往往表现出不知所措,难以设计出一套完整的实验方案,实验的过程中也提不出问题,完成不了必要的归纳和总结。因而学习过程中教师的参与非常重要。教师要帮助学生逐步培养自我探究的能力。
(2)学生的信息技术水平
学生的电脑技术参差不齐,电脑操作熟练的同学很快就能领会课堂中的内容,而操作不熟练的学生常常因技术问题拖慢或中断学习进程。因此需要对学生的计算机操作及网络使用进行必要的培训,让其熟悉《几何画板》的使用和操作方法,以利于提高学习的效率。
3、技术因素
使用《几何画板》进行数学实验学生观察到的是现象,得到的是结论,对于其中的数学说明还需要学生自己寻找,对结论的可靠性也有待严格的数学证明。因此,在数学实验课中,对于《几何画板》的运用方式,除了让学生直接使用现成的课件外,还应强调让学生自己动手制作课件,并在课件制作后反思制作过程,从中体会数学思想方法。另一方面,教师在使用《几何画板》进行实验教学时应该揭示数学常识发生发展的生动过程,不仅让学生利用《几何画板》这个平台加深数学理解,而且能够发现数学规律,自主探索数学说明和数学证明。
利用《 几何画板》开展数学实验活动,可将数学中抽象的东西直观化,重复的操作简单化,实现了交流对象的可选化,对于改进教学、提高教学质量有着积极的作用。      

参考文献
[1] 唐建军. 网络环境下“数学实验”教学模式的研究. 成都教育学院学报,2006.20(3)
[2] 石深敏. 网络环境下基于几何画板的高中数学实验模式探索. 教育技术导刊,2005.7
[3] 陶维林. 几何画板与数学教学整合的实践与思考. 中小学教材教学,2005.6
[4] 罗要荣,徐增达. 合理使用《几何画板》开展数学实验探究几何画板. 中小学电教,2006.12

 

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